Углы в прямоугольном треугольнике

Синус, косинус и тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C (рис. 10). Катет BC этого треугольника является противоположным углу A,

а катет AC – прилежащим к этому углу.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Синус, косинус и тангенс угла равного α обозначается символами sin α, cos α и tg α (читается: «синус альфа», «косинус альфа» и «тангенс альфа»). На рисунке

, (1)

, (2)

, (3)

Из формул (1) и (2) получаем:

Сравнивая с формулой (3), находим

(4),

то есть тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.

Теорема. Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

Доказательство. Пусть ABC и A1B1C1 – два прямоугольных треугольника с прямыми углами C и C1 и с одним и тем же углом при вершине A и A1 равны α (рис. 11).

Треугольники ABC и A1B1C1 подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому . Из этих равенств следует, что , то есть .

Аналогично , то есть , и , то есть .

Что и требовалось доказать.

Докажем теперь справедливость равенства

(5).

Из формул (1) и (2) получаем . По теореме Пифагора , поэтому .

Равенство (5) называется основным тригонометрическим тождеством.

Представим ещё одно доказательство теоремы Пифагора, основанное на определении косинуса угла в прямоугольном треугольнике.

Доказательство. Пусть ABC – данный прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту CD из вершины прямого угла C. (рис. 12).

По определению косинуса угла . Отсюда . Аналогично . Отсюда .

Складывая полученные равенства почленно, и, замечая, что AD+DB=AB, получим .

Что и требовалось доказать.

Значение синуса, косинуса и тангенса для углов

Смотрите также::

Принцип сознательности и активности
Результативность педагогического процесса во многом определяется тем, насколько сознательно и активно относятся к делу сами воспитываемые. Понимание существа заданий, как и активно заинтересованное выполнение их, ускоряет ход обучения, способствует результативности совершаемых действий, обуславлива ...

Краткий исторический очерк об изучении речевого развития учащихся
Вопросы культуры речи в современном обществе имеют первостепенное значение. Большинство ученых (языковедов, философов, психологов, социологов, педагогов) озабочено снижением общего уровня речевой культуры. Как отмечает Н. Г. Комлев, "культура речевого воздействия упала до самой низкой черты. Р ...

Механизм реализации ценностных ориентаций православной педагогической культуры
Стержнем выстраивания системы религиозного образования сегодня является церковный приход, являющийся образцом «обучающего воспитания» (прот. В. Зеньковский). Другой характерной чертой является выстраивание литургического соборного единства прихожан. Полноценное религиозное образование в рамках прих ...