Существует два подхода к изложению темы «Решение прямоугольных треугольников».
Первый подход основан на запоминании четырёх определений основных тригонометрических функций и ещё шести правил:
1. Катет равен гипотенузе, умноженной на синус противолежащего угла;
2. Катет равен гипотенузе, умноженной на косинус прилежащего угла;
3. Катет равен другому катету, умноженному на тангенс противолежащего угла;
4. Катет равен другому катету, умноженному на котангенс прилежащего угла;
5. Гипотенуза равна катету, делённому на синус противолежащего угла;
6. Гипотенуза равна катету, делённому на косинус прилежащего угла.
Второй подход, в отличие от первого, вынуждает учащихся запомнить лишь четыре определения тригонометрической функции острого угла. Это ведёт к меньшей нагрузке на память. Однако и здесь таятся некоторые трудности для учащихся. Они связаны, во-первых, с выбором нужной функции в условиях конкретной задачи, а во-вторых, с тем, что использование их определений не даёт непосредственного знания нужного элемента треугольника, а лишь приводит к уравнению, из которого этот элемент надо найти. Например:
tg α =, x=
, x=
ctg α.
Этих трудностей можно избежать, если ввести понятие единичного прямоугольного треугольника.
Назовём этим термином прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной единице.
В дальнейшем будем называть его просто единичным треугольником. Пусть один из его острых углов равен α. Тогда очевидно, что длина его противоположного катета равна sin α, а прилежащего – cosα.
Эти сведения ученик должен запомнить, что, в общем-то, несложно, так как всегда синус ассоциируется с противолежащим катетом, а косинус с
прилежащим катетом. Кстати, такой подход обнаруживает эффективный способ вычисления синуса, косинуса и служит пропедевтикой к их определению с помощью единичной окружности.
Пусть теперь дан произвольный прямоугольный треугольник со сторонами k, l, m и острым углом α. Наряду с ним рассмотрим единичный треугольник с таким же углом α. Ясно, что единичный треугольник (пусть длины его сторон равны соответственно k1, l1, m1) подобен данному.
Тогда k: l = k1: l1, k=l (1).
Получено правило нахождения любой стороны прямоугольного треугольника. Сформулируем его следующим образом:
Любая сторона прямоугольного треугольника равна другой стороне, умноженной на отношение сходственных сторон единичного треугольника.
Это правило вобрало в себя все шесть правил, приведенных в начале. Оно легко для запоминания, в нем даже не упоминаются термины: «катет», «гипотенуза», «прилежащие и противолежащие катеты», «синус, косинус, тангенс угла». Ученик не стоит перед необходимостью выбора какого-либо правила, формулы и т.д.
Пример. Пусть дан треугольник, у которого катет равен x, а гипотенуза равна a.
Соответствие сходственных сторон этого треугольника и единичного обозначим стрелками.
xsinα, a
1.
Тогда x=a=
.
Смотрите также::
Опыт работы учителей - практиков по совершенствованию контроля и оценки знаний,
умений и навыков учащихся
Еще в период обучения грамоте (система развивающего обучения) учитель МОУ лицея №109, г. Екатеринбурга Е.В.Бельдина ставила перед собой цель: научить детей сначала слуховой зоркости - зрительному вниманию, которое сливается в одну орфографическую задачу. Но в этот период у нее не получилось система ...
Роль изучения элементов математического моделирования в
курсе математики 5-6 классов
В литературных источниках отмечается использование моделирования в обучении математике как средства познания и осмысления нового знания, выделяются его виды, отмечаются условия, необходимые для его формирования (Л. М. Фридман, В. В. Давыдов, С. И. Архангельский, О. Б. Епишева, В. И. Крупич, Л. С. ...
Управление учебным процессом при изучении темы «Прямоугольный треугольник» в
курсе девятилетней школы
Успех в решении задач по геометрии во многом зависит от профессионального уровня учителя и степени заинтересованности и подготовленности школьников. Обучение в 7–8 классах является в значительной мере ориентированным. На этом этапе ученику надо помочь осознать степень своего интереса к предмету и о ...