Подобие прямоугольных треугольников

В повседневной жизни встречаются предметы одинаковой формы, но разных размеров, например, футбольный и теннисный мячи, круглая тарелка и большое круглое блюдо. В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными. Введём понятие подобных треугольников.

Пусть у двух треугольников ABC и A1B1C1 углы соответственно равны: <A=<A1, <B=<B1, <C=<C1. В этом случае стороны AB и A1B1, BC и B1C1, CA и C1A1 называются сходственными.

Два треугольника называются подобными, если их углы равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого (рис. 15).

Другими словами, два треугольника подобны, если для них можно ввести обозначения ABC и A1B1C1 так что

<A=<A1, <B=<B1, <C=<C1, (1)

(2).

Число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия. Обозначается ∆ABC~∆A1B1C1.

Оказывается, что подобие треугольников можно устанавливать, проверив только некоторые из равенств (1) и (2).

У прямоугольного треугольника один угол прямой. Поэтому для подобия прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по равному острому углу.

С помощью этого признака подобия прямоугольных треугольников докажем некоторые соотношения в треугольниках.

Пусть ABC – прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту CD из вершины прямого угла (рис. 16).

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет его на подобные прямоугольные треугольники, каждый из которых подобен данному треугольнику.

На рисунке ABC – прямоугольный треугольник <ABC=90º, CD ┴AB.

Δ ACD ~ Δ CDB;

Δ ACD ~ Δ ABC;

Δ CDB ~ Δ ABC.

Треугольники ABC и CBD имеют общий угол при вершине B. Следовательно, они подобны ∆ABC~∆ CBD. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

, или , а отсюда следует, что . Это соотношение обычно формулируется так: катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

Прямоугольные треугольники ACD и CBD также подобны. У них равные острые углы при вершинах A и C. Из подобия этих треугольников следует пропорциональность их сторон:

или , а отсюда следует, что . Это соотношение обычно формулируется так: высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.

Смотрите также::

Проведение развивающей работы с детьми старшего дошкольного возраста
Подвижные игры были включены в разные формы работы по физическому воспитанию такие как: физкультурное занятие (на воздухе и в зале), утренняя гимнастика, прогулка, на занятиях стретчингового типа, вечера досуга, динамические паузы и др. На каждом физкультурном занятии мы использовали подвижные игры ...

Практические примеры арт-терапевтических технологий
Арттерапия - традиционная трактовка: наиболее разработанный, чаще всего используемый и наиболее простой в техническом исполнении вид терапии искусством. Это живопись, скульптура, архитектура. В нее традиционно включают все виды рисунка (собственно рисунок, живопись, графика, монотипия и др.), мозаи ...

Выбор объекта деятельности
В наши дни нас окружает большое количество изделий из древесины: мебель, музыкальные инструменты, детские игрушки и т.д. Своеобразная красота обработанной поверхности изделия из древесины всегда привлекает взгляд. Древесина – один из самых распространенных материалов, который человек научился обраб ...