Подобие прямоугольных треугольников

В повседневной жизни встречаются предметы одинаковой формы, но разных размеров, например, футбольный и теннисный мячи, круглая тарелка и большое круглое блюдо. В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными. Введём понятие подобных треугольников.

Пусть у двух треугольников ABC и A1B1C1 углы соответственно равны: <A=<A1, <B=<B1, <C=<C1. В этом случае стороны AB и A1B1, BC и B1C1, CA и C1A1 называются сходственными.

Два треугольника называются подобными, если их углы равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого (рис. 15).

Другими словами, два треугольника подобны, если для них можно ввести обозначения ABC и A1B1C1 так что

<A=<A1, <B=<B1, <C=<C1, (1)

(2).

Число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия. Обозначается ∆ABC~∆A1B1C1.

Оказывается, что подобие треугольников можно устанавливать, проверив только некоторые из равенств (1) и (2).

У прямоугольного треугольника один угол прямой. Поэтому для подобия прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по равному острому углу.

С помощью этого признака подобия прямоугольных треугольников докажем некоторые соотношения в треугольниках.

Пусть ABC – прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту CD из вершины прямого угла (рис. 16).

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет его на подобные прямоугольные треугольники, каждый из которых подобен данному треугольнику.

На рисунке ABC – прямоугольный треугольник <ABC=90º, CD ┴AB.

Δ ACD ~ Δ CDB;

Δ ACD ~ Δ ABC;

Δ CDB ~ Δ ABC.

Треугольники ABC и CBD имеют общий угол при вершине B. Следовательно, они подобны ∆ABC~∆ CBD. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

, или , а отсюда следует, что . Это соотношение обычно формулируется так: катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

Прямоугольные треугольники ACD и CBD также подобны. У них равные острые углы при вершинах A и C. Из подобия этих треугольников следует пропорциональность их сторон:

или , а отсюда следует, что . Это соотношение обычно формулируется так: высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.

Смотрите также::

Воспитательное и оздоровительное значение проведения прогулки детей на свежем воздухе в старшей группе детского сада
Занятия на свежем воздухе расширяют знания детей о природных и погодных явлениях, помогают установить причинные связи между этими явлениями, что, в свою очередь, влияет на развитие мышления и речи (умение объяснить и сформулировать свои представления). Привлечение детей к подготовке необходимых для ...

Методологические и методические основы разработки программно-методического комплекса как дидактического средства
Необходимость обеспечения качественной реализации государственного образовательного стандарта начального профессионального образования (ГОС НПО) активизировала поиск педагогической наукой и практикой путей повышения эффективности образовательного процесса, совершенствования всех его составных элеме ...

Эффективность технических средств воспитания и обучения определяется их соответствием конкретным учебно-воспитательным целям, задачам, специфике учебного материала, формам и методам организации труда
Технические средства обучения повысят продуктивность учебно-воспитательного процесса только в том случае, если учитель, воспитатель хорошо себе представляют и понимают психологические основы их применения. Известен следующий случай. Учитель начальных классов была увлечена использованием графопроект ...